RELASI

🌕RELASI 

      relasi adalah hubungan antara dua unsur atau dua himpunan yang tidak kosong dengan satu aturan hubungan tertentu

🌜Definisi🌛

Misalkan A & B sebagai himpunan, hubungan antara himpunan A & himpunan B merupakan himpunan yang memiliki pasangan atau huruf atau angka yang berurutan,  tetapi  mengikuti aturan tertentu. Dengan demikian hubungan  biner R antar himpunan A dan B, merupakan himpunan  dari A × B / R ⊆(A × B).

🔥Contoh :

Misal A  = {1, 3, 5} dan B = {1, 3, 5, 7}. Maka dapat didefinisikan relasi R dari A ke B  menggunakan aturan seperti, (a,b) ∈ R jika faktor dari b.

A × B menjadi :

A × B = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (1, 7), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (3, 7), (5, 1), (5, 3), (5, 5), (5, 7)}

Jika menggunakan aturan relasi atau hubungan diatas, relasi R dari A ke B  yang mengikuti aturan tadi menjadi,

R = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8)}

Relasi dapat terjadi pada sebuah himpunan, yaitu hubungan pada A, di himpunan A, yang merupakan himpunan A × A

🔥Contoh : 

Misal R atau relasi pada A = {2, 3, 4, 8, 9} yang diumpamakan :

(x, y) ∈ R dan bila x habis dapat dibagi oleh y.

Relasi R pada A  yang mengikuti aturan tersebut atau seperti dibawah ini.

R = {(2, 2), (4, 4), (4, 2), (8, 8), (8, 2), (8, 4), (3, 3), (9, 9), (9, 3)}

 🌟Contoh Relasi : 

A : Nama, Subjek (Domain)

B : Objek (Kodomain)

R : Relasi atau hubungan antar makanan favorit

                                                                🌠Sifat-Sifat Relasi🌠

macam-macam sifat relasi :

✨1. Refleksif 

Suatu relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a, a) ∈ R untuk setiap a ∈ A . Dan bisa disebut juga hubungan relasi R pada himpunan A diketahui tidak refleksif jika a ∈ A dan begitu pula jika (a, a) ∉ R.

⛅Contoh :

Misalkan A = {5, 6, 7, 8}, dan sifat Relasi R adalah  ‘≤’ yang dimisalkan himpunan A, jadi 
R = {(5, 5), (5, 6), (5, 7), (5, 8), (6, 6), (6, 7), (6, 8), (7, 7), (7, 8), (8, 8)} 
Kelihatan bukan jika  (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) adalah bagian unsur dari R. Jika begitu R dinyatakan himpunan Refleksif

⛅Contoh :

Misalkan A = {2, 3, 4, 8, 9, 15}.

Jika, relasi R yang ada di himpunan A memiliki aturan:

(a, b) ∈ R jika e faktor prima dari f

Perlu diketahui jika(4, 4) ∉ R .

Jadi, R tidak bersifat refleksif.

Sifat refleksif mempunyai ciri ciri seperti:

• Relasi refleksif mempunyai matriks dengan unsur utamanya yang bernilai 1 semuanya, atau m_ii = 1, untuk i = 1, 2, …, n,

• Relasi sifat refleksif dapat kita temukan buktinya dalam bentuk graf terarah jadi pada graf tersebut akan ditemukan sebuah  loop pada setiap simpulnya.

✨2. Simetri (symmetric) dan Anti Simetri (antisymmetric)

Suatu relasi R di himpunan A memiliki sifat simetri jika 

(a, b) ∈ R, jika setiap a, b ∈ A , jadi (a, b) ∈ R.

Suatu relasi R pada himpunan A dikatakan tidak simetri jika (a, b) ∈ R sementara itu (a, b) ∉ R.

Pada suatu relasi R dihimpunan A mempunyai anti simetri dan misalkan untuk setiap

 a, b ∈ A, (a, b) ∈ R dan (b, a) ∈ R diakui jika a = b.

    Perhatikan dengan teliti, Definisi simetri dan anti simetri bukanlah berlawanan, karena suatu relasi dapat mempunyai kedua sifat itu sekaligus. tetapi suatu relasi tak bisa mempunyai  kedua sifat itu jika dia mempunyai pasangan yang berurutan atau terurut dengan bentuk (a, b) yang mana a ≠ b.

⛆Contoh :

Buktikan bila relasi  ‘≤’ adalah himpunan Z.  Yang bersifat anti simetri

Jadi jika a ≤  b dan b ≤ a berarti a = b.

Hasilnya adalah  ‘≤’ yang artinya memiliki sifat anti simetri.

✨3. Transitif

Sebuah relasi  R pada himpunan A mempunyai sifat transitif bila

(a, b) ∈ R dan (b, c) ∈ R, maka (a, c) ∈ R, untuk a, b, c ∈ A.

🌊Contoh :

Misal A  = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, & relasi  dapat diartikan bila :

a R b  jikalau & hanya bila a membagi b, dimana a, b ∈ A

Dan bila kita perhatikan definisi relasi R yang terdapat pada himpunan A, jadi :

R = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (3, 3), (3, 6), (3, 9), (4, 4), (4, 8)}

Dan Bila (2, 4) ∈ R & (4, 8 ) ∈ R terbukti bila  (2, 8 ) ∈ R.

Dan relasi  R memiliki sifat transitif.

🌊Contoh : 

R adalah relasi yang ada pada himpunan bilangan Riil N yang diketahui atau didefinisikan seperti:

R : A + b = 6, a, b ∈ A,

Dengan mengikuti relasi R pada himpunan A, jadi:

R = {(1, 5), (5, 1), (2, 4), (4, 2) }

Buktikan bila  (1, 5) ∈ R & (5, 1) ∈ R , terapi (1, 1) ∉ R.

Jika seperti ini relasi R bukan atau tidak memiliki sifat transitif.

Sifat transitif mempunyai ciri-ciri dalam pembuktian satu relasi , misal, sifat transitif di graf terarah dapat dinyatakan seperti:

Bila  ada  sebuah busur dari a ke b dan busur dari b  ke c, jadi  juga memiliki sebuah busur

Berarah atau diarahkan dari a ke c.

Dan saat atau bila  menyajikan suatu relasi transitif didalam bentuk matriks, sebuah relasi transitif tidak memiliki satu ciri khusus di matriksnya.