FUNGSI

FUNGSI

Misalkan A dan B adalah himpunan. Relasi biner f dari A ke B yaitu fungsi jika masing-masing elemen di dalam A digabungkan secara tepat satu elemen di dalam B.
  Apabila f adalah fungsi dari A ke B maka penulisan f : A -> B , yang artinya f memetakan A ke B.
· A merupakan daerah asal (domain) dari f dan B yang merupakan daerah hasil (kodomain) dari f.
· Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transformasi.
· maka penulisan f(a) = b jika elemen-elemen a yang terdapat pada A digabungkan dengan elemen b yang terletak pada B.

Jika diketahui f(a) = b, maka b adalah bayangan yang berasal  dari a dan a merupakan pra-bayangan yang berasal dari b. Himpunan yang berisikan nilai-nilai pemetaan f dinamakan jelajah (range) dari f.
hal yang harus kita Perhatikan dari diatas yaitu jelajah dari f adalah himpunan bagian (mungkin proper subset) dari B.

 

Fungsi adalah relasi yang khusus:
1. Tiap elemen yang berada di dalam himpunan A harus menggunakan prosedur-prosedur yang dapat mendefinisikan f.
2. Frasa “dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B” berarti bahwa jika (a, b) Î f dan (a, c) Î f, maka b = c.

Fungsi dapat dispesifikasikan dalam berbagai bentuk , diantaranya :
1 . Himpunan pasangan terurut . Seperti pada relasi .
2 . Formula pengisian nilai (assignment) .
3 . Kata - kata
4 . Kode program (source code)



Fungsi f dikatakan satu-ke-satu (one-to-one) atau injektif (injective) jika tidak ada dua elemen himpunan A yang memiliki bayangan sama.

Contoh
f = {(1, w), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w, x} adalah fungsi satu-ke-satu, akan
Tetapi relasi f = {(1, u), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} bukan merupakan fungsi one-to-one,
karena f(1) = f(2) = u.













dapat kita nyatakan bahwa Fungsi f dipetakan pada (onto) atau surjektif  jika elemen-elemen pada himpunan B merupakan bayangan dari satu atau lebih  dari elemen himpunan A. dapat dikatakan bahwa seluruh elemen B merupakan jelajah dari f. Fungsi f disebut fungsi pada himpunan B.




dapat kita nyatakan bahwa Fungsi f  berkorespondensi one-to-one atau bijeksi jika ia merupakan fungsi one-to-one dan juga fungsi onto.
Contoh
f = {(1, u), (2, w), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, karena f adalah fungsi satu-ke-satu maupun fungsi pada.

Jika f merupakan fungsi berkorespondensi one-to-one dari A ke B, maka dapat kita temukan balikan (invers) dari f. Balikan fungsi dilambangkan dengan f –1. Misalkan a adalah
anggota himpunan A dan b adalah anggota himpunan B, maka f -1(b) = a jika f(a) = b. Fungsi yang berkorespondensi one-to-one dapat dinamakan dengan fungsi yang invertible (dapat dibalikkan), karena kita dapat mendefinisikan fungsi balikannya. Suatu fungsi ddapat dinyatakan not invertible (tidak dapat dibalikkan) apabila ia bukan fungsi yang berkorespondensi one-to-one, karena fungsi balikannya tidak ada.

Contoh
fungsi yang berkoresponden one-to-one f = {(1, u), (2, w), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w}.  dan Balikan dari fungsi f tersebut yaitu f -1 = {(u, 1), (w, 2), (v, 3)}
Jadi, f adalah fungsi invertible.




Komposisi dari dua buah fungsi
 
Dapat kita misalkan bila g merupakan fungsi dari himpunan A ke himpunan B, lalu f juga merupakan fungsi dari himpunan B ke himpunan C. Komposisi f dan g, dinotasikan dengan f o g, adalah fungsi dari A ke C yang
didefinisikan oleh (f o g)(a) = f(g(a))








Beberapa Fungsi Khusus
1. Fungsi Floor dan Ceiling
contoh jika x merupakan billangan riil, maka x berada diantara dua bilangan bulat.
Fungsi floor dari x:
[x] menyatakan nilai b ilan gan b ulat terbesar yang leb ih kecil atau sama dengan x
Fungsi ceiling dari x:
[x] untuk menyatakan bahwa bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan x
Dapat kita nyatakan bahwa fungsi floor membulatkan x ke bawah , lalu fungsi ceiling membulatkan x ke atas.

2. Fungsi modulo
Misalkan a adalah sembarang bilangan bulat dan m adalah bilangan bulat positif.
a mod m menghasilkan sisa pembagian dari bilangan bulat jika a dibagi dengan m
a mod m = r dengan begitu a = mq + r, dengan 0 £ r < m.



3. Fungsi Faktorial  
n ! = 1                                , n = 0
         1 x 2 x .... x(n-1) x n , n > 0

4. Fungsi Eksponensial

aⁿ  = 1                            , n = 0

          a x a x ....... x a     , n > 0
Untuk kasus perpangkatan negatif,

a^-n = 1/ an 

5. Fungsi Logaritmik
Fungsi logaritmik berbentuk

y = alogx <-> x = ay

Fungsi Rekursif
Dapat kita nyatakan bahwa Fungsi f merupakan fungsi rekursif apabila definisi fungsinya berada pada dirinya sendiri.

Fungsi rekursif disusun oleh dua bagian:
(a) Basis
Bagian yang didalamnya berisi nilai awal yang tidak berada pada dirinya sendiri. Hal ini juga dapat menghentikan definisi rekursif sekaligus.
(b) Rekurens
Bagian ini dapat didefinisikan bahwa argumen fungsi pada terminologi yang berada di dirinya sendiri. Setiap kali fungsi berada pada fungsi itu sendiri, argumen yang berasal dari fungsi tersebut harus lebih dekat lagi  menuju ke nilai awal (basis).

Di bawah ini adalah contoh-contoh fungsi rekursif lainnya:
 

1. f(x) = 0                   , x = 0

    f(x) =  2F(x-1)+     , x ≠ 0

2. Fungsi fibonacci:
                   0             , n = 0
    f(n) =       1             , n = 1
              f(n-1)+f(n-2) , n > 1