INDUKSI MATEMATIKA

INDUKSI 

Induksi Matematika adalah cara pembuktian satu buah pernyataan tertentu, yang berlaku untuk bilangan asli. Pembuktiannya terdiri aatas 2 cara seperti,

Menunjukkan jika pernyataan itu berlaku untuk bilangan 1.

Menunjukkan pernyataan itu berlaku untuk bilangan n, maka pernyataan itu dapat berlaku juga untuk bilangan n + 1.

Prinsip Induksi yang Sederhana

Induksi Matematika ini bisa kita artikan seperti ini

Misal untuk setiap bilangan Real N kita memiliki pernyataan P(n) yang hasilnya dapat benar (true) maupun salah (false).

Misal>>

P(1)  kita nyatakan sebagai true (benar).

Jika pernyataan P(n) adalah true (benar), maka P(n + 1) hasil nya juga true (benar)

jadi hasilnya P(n) true (benar) untuk setiap bilangan Real (asli) n.

Langkah pertama kita sebut sebagai Langkah Dasar, sedangkan Langkah kedua kita sebut sebagai Langkah Induktif.

Contoh 1

menggunakana induksi matematika untuk mengetes atau mengetahui jikalau jumlah n adalah bilangan ganjil, bilangan + positih pertama n2.

Mari kita buktikan:

1.  Basis induksi: Untuk n = 1, jumlah 1  bilangan ganjil positif pertama adalah 19 = 1. Hasilnya menjadi true (benar) karena jumlah 1 bilangan ganjil positif pertama 1.

cara induksi:

jikalau p(n) adalah true (benar), seperti

1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2

true (benar )>>>(hipotes dari induksi)

[harus digaris bawahi jika bilangan ganjil positif ke-n (2n – 1)]

Kita harus membuktikan jika p(n +1) maka hasilnya true (benar) seperti,

1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1) = (n + 1)2

benar. Hal ini dapat kita buktikan seperti dibawah ini:

1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1) = [1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)] + (2n + 1)

= n2 + (2n + 1)

= n2 + 2n + 1

= (n + 1)2

Karena, langkah basis dan langkah induksi ke-2 telah diketahui hasilnya adalah true (benar) maka jumlah n bilangan ganjil positif pertama adalah n2.

Prinsip Induksi yang Dirapatkan/dipadatkan.

Misal p(n) adalah pernyataan tentang bilangan bulat & kita ingin mengetahui lebih lanjut jika  p(n) hasilnya true (benar) u/ all bilangan bulat  n3 n0. Untuk membuktikan,kita hanya perlu tahu jika:

p(n0)  hasilnya true (benar), & untuk semua bilangan bulat  n3 n0,

jika p(n) dinyatakan true (benar) maka p(n+1) juga hasilnya true  (benar)

Contoh>>

Untuk all bil bulat bukan-negatif n, kita buktikan dengan induksi matematik jika

30 + 31 + 32 + … + 2n = 2n+1 – 1

Cara menyelesaikan:

1>Basis induksi.

u/ n = 0 (bukanlah bil bulat  neg pertama), we have:

30 = 30+1 – 1

Ini jelas benar, sebab  

30 = 1  

= 30+1 – 1

= 31 – 1

= 3– 1

= 1

2>Langkah induksi.

untuk semua bilangan bulat Bukanlah-negatif  n,

30 + 31 + 32 + … + 2n = 2n+1 – 1 

Kita nyatakan benar (hipotes induksi). Kita harus membuktikan bila,

30 + 31 + 32 + … + 2n + 2n+1 = 2(n+1) + 1 – 1

Hasilnya sama benar atau true. Kita buktikan sebagai berikut:

30 + 31 + 32 + … + 2n + 2n+1 = (30 + 31 + 32 + … + 2n) + 2n+1

= (2n+1 – 1) + 2n+1 (a/ H induksi)

= (2n+1 + 2n+1) – 1

= (2 . 2n+1) – 1

= 2n+2 – 1

= 2(n+1) + 1 – 1

 Karena langkah pertama dan keduanya menyatakan hasilnya true (benar), jadi untuk semua bilangan bulat bukanlah-negatif n, karena telah kita buktikan jika

 30 + 31 + 32 + … + 2n = 2n+1 – 1